۱ – جبر (ALGEBRA)
جبر مجرّد یک شاخه از ریاضی است که به بررسی ساختارهای جبری مثل گروه، حلقه و میدان می‌پردازد. جبر مجرد مقدماتی، اشیا و اعمال ریاضی را جدا از ماهیتشان بررسی می‌کند. اعداد، توابع، ماتریس ها، از عناصر آن و اعمال دوتایی ضرب، ترکیب توابع و … از اعمال آن هستند.
دسته بندی گروه ها و حلقه‌ها و مدول ها از موضوعات اصلی این شاخه هستند. بعضی از شاخه‌های هندسی با جبر مجرد ارتباط دارند. جبر مقدماتی بهمراه جبر مجرد و جبر خطی سه شاخهٔ اصلی دستگاه جبر را تشکیل می‌دهند. از دروس اختصاصی این رشته جبر۳، جبرحلقه‌ها، جبر جابجایی، جبر همولوژی، جبر ناجابجایی، نظریه نمایش و غیره است. دستاوردهای این رشته کاربردهای جالبی در زمینه های پزشکی، شیمی اتم و کیهان شناسی دارد.
زیرشاخه های جبر
- جبرجابجایی
- جبر ناجابجایی
- نظریه گروهها
- نظریه حلقه ها و مدولها
- جبر ترکیبیاتی
- هندسه جبری
۲ – آنالیزریاضی (MATHEMATICAL ANALYSIS)
آنالیز به بخشی از ریاضی گفته می شود که با مفاهیم حد و همگرایی ارتباط دارند و در آن‌ها موضوعاتی مثل پیوستگی و انتگرال‌گیری و مشتق‌پذیری و توابع غیرجبری بررسی میشود. این موضوعات در بخش اعداد حقیقی یا اعداد مختلط و توابع مربوط به آن مورد بحث قرار میگیرد اما میشود در هر فضائی از موجودات ریاضی که در آن مفهوم “نزدیکی” (فضای توپولوژیک) یا “فاصله” (فضای متریک) وجود دارد به‌کار برد. آنالیز ریاضی مربوط به دقیق کردن مبانی و تعریف‌های حسابان است. آنالیز ریاضی در واقع به نقاط استثنایی ریاضی می‌پردازد . کلمه انالیز به همین معنی [: نقاط استثنایی] است. از دروس اختصاصی این رشته در مقطع کارشناسی ارشد آنالیز تابعی، آنالیز هارمونیک، آنالیز حقیقی و… است.
زیرشاخه های آنالیز
- آنالیز حقیقی
- آنالیز مختلط
- آنالیز عددی
- آنالیز تابعی
- آنالیز هارمونیک
- آنالیز غیر‌استاندارد
۳ – هندسه (GEOMETRY)
موضوع علم هِندسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. هندسه و حساب یکی از دو شاخه قدیمی ریاضی است. واژه هندسه عربی شده واژه ”اندازه” در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که به معنای اندازه‌گیری زمین است.
کلاسه بندی هندسه
۱- هندسه مقدماتی به دو قسمت تقسیـم میشود:
- هندسه مسطحه
- هندسه فضائی
هندسه مسطح روی شکل هایی مطالعه می کند که فقط دو بعد دارند ولی هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است که در مورد اشکال سه بعدی مثل مکعب‌ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است.
۲- در هندسه مدرن شاخه‌های زیر مورد مطالعه قرار می‌گیرند:
- هندسه تحلیلی
- هندسه برداری
- هندسه دیفرانسیل
- هندسه جبری
- هندسه محاسباتی
- هندسه اعداد صحیح
- هندسه اقلیدسی
- هندسه نااقلیدسی
- هندسه تصویری
- هندسه ریمانی
- هندسه ناجابجایی
- هندسه هذلولوی
۴ – توپولوژی (TOPOLOGY)
توپولوژی فضاهای توپولوژیکی را بررسی می کند. توپولوژی از شاخه‌های نوپای ریاضی است که نامش از واژه‌های یونانی توپو (Topo) به‌معنی مکان و (Logos) به‌معنای شناخت گرفته شده است. پس توپولوژی یعنی مکان‌شناسی.
توپولوژی از زمینه‌های مهم ریاضی است که در نتیجه ی پیشرفت مفاهیم هندسی و تئوری مجموعه‌ها مثل فضا، بعد، اشکال، تبدیلات و… بوجود آمده‌است. توپولوژی هم به معنی زمینه‌ای در ریاضی است و هم برای خانواده‌ای از مجموعه‌ها که دارای خصوصیات مخصوصی که برای تعریف فضای توپولوژیک، که شی بنیادین توپولوژی است، استفاده میشود.
توپولوژی زیرشاخه‌های زیادی دارد که قدیمی ترین آن ها توپولوژی نقطه – مجموعه است که بنیاد‌های توپولوژی بر آن بنا شده‌است و به مطالعه در زمینه‌های فشردگی، پیوستگی و اتصال می‌پردازد.
یکی دیگر از زیرشاخه‌های توپولوژی، توپولوژی جبری است که میخواهد به محاسبه درجه اتصال بپردازد، توپولوژی جبری هم بکار بردن روش های جبری برای دریافت اطلاعات توپولوژیک است. توپولوژی زیرشاخه‌هایی مثل توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی گراف و توپولوژی ابعاد کم هم دارد.
۵ – منطق ریاضی (MATHEMATICAL LOGIC)
منطق ریاضی هم به ارتباط ریاضی و منطق می پردازد و به نام منطق صوری یا منطق نمادی هم آنرا می شناسند. در اواخر قرن ۱۹ میلادی، با کارهای آگوستوس دی مورگان، جرج بول، گوتلوپ فرگه، برتراند راسل، داوید هیلبرت و دیگران این علم حسابی پیشرفت کرد. منطق امروز در ریاضی، شکل کامل تری از منطق در فلسفه است که اساس خود را با نظریهٔ مجموعه‌ها به اشتراک دارد. متاسفانه این رشته در ایران جایگاه مناسبی ندارد.
۶ – نظریه اعداد (NUMBER THEORY)
در این علم خواص اعداد صحیح مورد بحث قرار می گیرد. در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بدون استفاده از روش‌های به‌کار رفته در بقیه شاخه‌های ریاضی بررسی می‌کنند. در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه میشود. در نظریه جبری اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبری که همان ریشه‌های چند جمله‌ای‌هائی با ضریب گویا هستند، توسعه می‌یابد. نظریه هندسی اعداد جنبه‌هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می‌دهد. نظریه ترکیبیاتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد می‌پردازد که با روش‌های ترکیبیاتی بررسی می‌شوند. نظریه محاسباتی اعداد به الگوریتم‌های مربوط به نظریه اعداد می‌پردازد. متخصص در این گرایش نیز در ایران کم میباشد.
۷- سیستم های دینامیکی (DYNAMICAL SYSTEM)
گرایش سیستم های دینامیکی یکی از گرایش های ریاضی محض و کاربردی است. در گرایش محض، هندسه سیستم های دینامیکی بطور تحلیلی مورد بحث خواهد بود. از مباحث جالب سیستم های دینامیکی نظریه آشوب وتحلیل تونل زمان است. همچنین به عنوان زیرشاخه ای از توپولوژی و هندسه میتوان به گروه های توپولوژیک اشاره کرد که راه ورود به مباحث آنالیز هارمونیک و گروه وجبر بولی میباشد.